Einleitung
Vor einigen Jahren hatte ich ein kleines FEM Programm in Javascript geschrieben. Mit diesem lassen sich zweidimensionale, statisch unbestimmte Tragwerke berechnen. Da dieses jedoch nur schwer zu bedienen war, habe ich es noch einmal komplett überarbeitet. Neben der verbesserten Bedienbarkeit sind ein paar Funktionen, wie eine grafische Darstellung der Ergebnisse, hinzu gekommen. Geometrische Randbedingungen können jetzt nicht nur homogen (Verschiebung gleich null), sondern auch inhomogen angegeben werden.
Gedacht ist das Programm für Studenten des Maschinenbaus oder anderer Ingenieursrichtungen, welche die Fächer "Technische Mechanik", "Höhere Technische Mechanik" oder "FEM" belegen. Mit dem Programm ist es leicht, Hausaufgaben aus dem Grundstudiums zu überprüfen und dabei ein Gefühl für die Anwendung von CAE-Software zu erlangen. Wer möchte, kann das Programm auch privat zur Berechnung von Festigkeitsproblemen in "Haus und Garten" verwenden. Dabei sei jedoch auf den Betastatus des Programms hingewiesen, sodass Fehler nicht ausgeschlossen werden können. Eine kommerzielle Nutzung ist zunächst nicht gestattet und auch aus beschriebenem Grund nicht zu empfehlen.

Beispielrechnung
Die Anwendung der Software soll anhand eines kleinen Beispiels demonstriert werden. Am Ende der Seite befindet sich eine Bilderreihe mit Untertiteln, welche die einzelnen, notwendigen Schritte zeigt. Als Struktur wird ein typischer Fahrradrahmen gewählt:

(Bild: Gabriele genannt Gabi Schoenemann  / pixelio.de)
Der Vorgang gliedert sich in die Erstellung der Geometrie, die Elementierung, die Eingabe von Material- und Geometriekennwerten und das Postprocessing (Auswertung der Ergebnisse).

Die Geometrie wird durch einzelne Knoten definiert. Knoten können erstellt werden, indem der Zeichenmodus aktiviert und anschließend mit der Maus auf das karierte Feld geklickt wird. Mit dem Button "Punkte (Konsole)" können Knoten auch direkt durch die Eingabe der Koordinaten erstellt werden. Das Koordinatensystem startet an der linken unteren Ecke der karierten Zeichenebene. Das Programm arbeitet, wie bei CAE-Software üblich, einheitenlos. Der Abstand zwischen zwei dicken Strichen markiert jeweils eine Längeneinheit. Werden als Längeneinheit Meter und als Krafteinheit Newton gewählt, bedeutet eine senkrechte Kraft von 1N an einem 1LE langen Balken (Abstand zwischen zwei dicken Strichen) ein Biegemoment von 1Nm. Knoten können ausgeblendet aber nicht gelöscht werden. Nicht in die Struktur eingebundene Knoten beeinflussen die Rechnung nicht.

Die Elementierung wird im Balkenmodus vorgenommen. Dazu muss jeweils auf den ersten und anschließend auf den zweiten Knoten geklickt werden, welche mit einem Balken verbunden werden sollen. Als Element steht ein Bernoulli-Balken zur Verfügung, welcher für lange, dünne Strukturen geeignet ist, für die Schubverformung vernachlässigt werden kann. Es steht zwar kein Stabelement zur Verfügung, ein Stab kann jedoch einfach mit Hilfe eines Balkens simuliert werden, indem das Flächenträgheitsmoment auf einen sehr kleinen Wert gesetzt wird. Auf ähnliche Weise kann ein Balken mit einseitigem Kugelgelenk simuliert werden. Hierfür wird vor dem Balken ein zusätzliches, kurzes Element mit geringer Biegesteifigkeit erstellt. Auch Federn können durch das Umrechnen der Federkonstante in eine entsprechende Kombination aus Querschnittsfläche und E-Modul in einen Balken umgerechnet werden.

Die Eingabe der Material- und Geometriekennwerte für die Balken erfolgt in der unteren Tabelle. Hier können auch überflüssige Balken wieder gelöscht werden. Es ist darauf zu achten, dass als Dezimaltrennzeichen ein Punkt und kein Komma gewählt wird.

Anschließend sind die Randbedingungen zu wählen. Für diesen Schritt ist einige Erfahrung notwendig. Fehler in den Randbedingungen führen entweder zu der Fehlerausschrift "Singuläre Matrix" oder zu unrealistischen Ergebnissen für die Verschiebungen und Kräfte. Es ist darauf zu achten, dass bei der Definition einer geometrischen Randbedingung die entsprechende Kraft an dem Knoten auf "u" (für unbekannt) gesetzt wird. Umgekehrt muss bei Definition einer dynamischen Randbedingung die entsprechende Verschiebung auf "u" gesetzt werden.

Das Postprocessing Menü kann mit der Taste "Auswerten" geöffnet werden, nachdem die Rechnung mit der Taste "Rechnen" durchgeführt wurde. Zuerst bietet sich das plotten des Verschiebungszustandes mit der Taste "Plot Verschiebung Faktor" an. Das Eingabefeld hinter der Taste ermöglicht die Eingabe eines Skalierungsfaktors, um den Verschiebungszustand verstärkt darzustellen. Ein Faktor von eins bedeutet, dass die Verschiebung nicht verstärkt dargestellt wird. Der Verschiebungszustand wird ohne die Biegung der einzelnen Balken geplottet. Diese kann jedoch manuell aus den berechneten Verdrehungen ermittelt werden. Zusätzlich zum Verschiebungszustand können die maximalen Schnittkräfte in den Knoten geplottet werden. Dabei werden die maximalen Schnittkräfte in x-Richtung (Plot Fx), in y-Richtung (Plot Fy), dass maximale Biegemoment (Plot M) und die maximalen Schnittkräfte in Balkenrichtung (Plot Fn) und senkrecht zur Balkenrichtung (Plot Fq) unterschieden. Eine Darstellung des Belastungsverlaufs über den Balken ist nicht möglich. Neben der grafischen Darstellung können alle Ergebnisse im Ausgabefeld am Ende der Seite ausgelesen werden.

Die komplette Eingabe kann auch gespeichert werden, sodass bei einer erneuten Rechnung zu einer späteren Zeit die Eingabe nicht neu durchgeführt werden muss. Nach dem Klick auf die Taste "Speichern" wird ein Datensatz im Ausgabefeld erstellt, welcher per Hand in einen Texteditor kopiert und damit als Textdatei gespeichert werden muss. Zum Einlesen der Daten kann der Datensatz wieder in das Textfeld kopiert und mit der Taste "Einlesen" geladen werden.

Browserkompatibilität
Mit folgenden Browsern habe ich das Programm getestet:
Firefox 8
Opera 11.42
Internet Explorer 8
Internet Explorer 9
Die höchste Geschwindigkeit hat dabei Opera erreicht. Der IE 8 ist etwas träge und fragt nach längerer Rechenzeit, ob das Skript abgebrochen werden soll. Diese Meldung muss verneint werden.

Lizenzbedingung
Die Verwendung des Programms ist ausschließlich für Lehrzwecke und im privaten Bereich erlaubt. Für die Fehlerfreiheit des Programms übernehme ich keine Verantwortung.

Schlusskommentar
Das Programm ist nicht so entwickelt, dass es konsequent alle Eingabefehler abfängt. Bei der Bedienung ist darauf zu achten, dass ausschließlich Zahlen mit Dezimaltrennzeichen "." verwendet werden. Bei fehlerhafter Eingabe ist es möglich, dass die Rechnung durchgeführt wird, das Ergebnis aber NaN  (not a number) ist. Die Fehlersuche benötigt etwas Übung. Hinweise zu möglichen Fehlern können gerne in den Kommentaren gegeben werden. Bei der Verwendung der Software wünsche ich nun viel Spaß:

zum Programm
Beispiel Fahrrad

geschrieben am: 5.12 2011 19:30